Question

【題目】如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．

（1）求BC的長度；

（2）在線段BC上取一點P（點P與點B，C不重合），從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點P在何處時，α+β最小？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當BP為cm時，α+β取得最小值．

【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設BC＝x，根據得到，解得答案.

（2）設BP＝t，則，故，設，求導得到函數單調性，得到最值.

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設BC＝x，

則，

化簡得，解之得，或（舍），

（2）設BP＝t，則，

，

設，，

令f'（t）＝0，因為，得，

當時，f'（t）＜0，f（t）是減函數；

當時，f'（t）＞0，f（t）是增函數，

所以，當時，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，

因為恒成立，所以f（t）＜0，

所以tan（α+β）＜0，，

因為y＝tanx在上是增函數，所以當時，α+β取得最小值．