Question

 如圖，在長方體中，分別是的中點，分

的中點，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱錐的體積。

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為  ；

（Ⅲ）  。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面平行的證明，以及二面角的求解和錐體體積的計算的綜合運用。

（1）利用線面平行的判定定理可知找到線線平行，從而得到結論。

（2）建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量，運用向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小

（3）根據錐體體積的公式，利用底面積和高度來求解得到。

解：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，

       則：

∵分別是的中點

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面            。。。。。。。。。。。

（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則∵

設，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的余弦值為                    。。。。。

（Ⅲ）設為平面的法向量，則

     又

∴    即   ∴可取

     ∴點到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴            。。。。。。