Question

設P是不等式組

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

表示的平面區域內的任意一點，向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，若

OP

=λ

m

+μ

n

，則2λ+μ的最大值為

5

．

Answer 1

分析：根據向量線性運算的坐標公式，得到

x=λ+2μ y=λ+μ

，由此代入題中的不等式組，可得關于λ、μ的不等式組．作出不等式組表示的平面區域，得如圖的四邊形OABC及其內部，再將目標函數z=2λ+μ對應的直線進行平移，可得當λ=3，μ=-1時，目標函數取得最大值為5．

解答：解：∵向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，且

OP

=λ

m

+μ

n

，
∴P（x，y）滿足

x=λ+2μ y=λ+μ

，代入不等式組

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

，得

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

作出不等式組

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

表示的平面區域，
得到如圖的四邊形OABC及其內部，
其中A（-3，3），B（3，-1），C（2，-1），O為坐標原點
設z=F（λ，μ）=2λ+μ，將直線l：z=2λ+μ進行平移，
可得當l經過點B時，目標函數z達到最大值
∴z_最大值=F（3，-1）=2×3+（-1）=5
故答案為：5

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數2λ+μ的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．