Question

設函數f（x）=

-2x+m

2x+n

（m、n為常數，且m∈R⁺，n∈R）．
（Ⅰ）當m=2，n=2時，證明函數f（x）不是奇函數；
（Ⅱ）若f（x）是奇函數，求出m、n的值，并判斷此時函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）證明不是奇函數，只要證明：f（-x）≠-f（x），可得f（x）不是奇函數；
（2）利用奇函數定義f（-x）=-f（x），再用待定系數法求解；利用單調性的定義即可判斷

解答：證明（I）當m=2，n=2時，f（x）=

2-2x

2+2x

，函數的定義域為R
∴f(-x)=

2-2-x

2+2-x

=

2•2x-1

2•2x+1

=

2x- 1 2

2x+ 1 2

，-f(x)=-

2-2x

2+2x

=

2x-2

2x+2

∴f（-x）≠-f（x）
則函數f（x）不是奇函數
（II）若函數f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x）
∴

-2-x+m

2-x+n

=-

-2x+m

2x+n

∴

m•2x-1

n•2x+1

=

2x-m

2x+n

化簡整理得（m-n）•2^2x+（m+mn-2）•2^x+（m-1）=0，這是關于x的恒等式，
∴

m-n=0 mn+m-2=0 m-1=0

∴m=1，n=1，f（x）=

1-2x

1+2x

=1-

2

1+2x

設x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

1+2x1

-1+

2

1+2x2

=

2

2x2+1

-

2

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0
∴

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數f（x）單調遞增函數

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．