Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，過原點(diǎn)O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率存在且不為零時(shí)，記直線PM的斜率為k₁，直線PN的斜率為k₂，試探究k₁•k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（I）設(shè)橢圓的焦距為2c（c＞0），F(xiàn)（c，0），直線l：x-y=0，F(xiàn)到l的距離為

|c|

2

=

2

，解得c=2．又∵e=

c

a

=

2

2

，∴a=2

2

，∴b=2．
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（6分）
（Ⅱ）由

x2 8 + y2 4 =1 y=x

解得x=y=

2 6

3

，或x=y=-

2 6

3

，
不妨設(shè)M(

2 6

3

，

2 6

3

)， N(-

2 6

3

，-

2 6

3

)，P（x，y），
∴kPM•kPN=

y- 2 6 3

x- 2 6 3

•

y+ 2 6 3

x+ 2 6 3

=

y2- 8 3

x2- 8 3

，
由

x2

8

+

y2

4

=1，即x²=8-2y²，代入化簡得k1•k2=kPM•kPN=-

1

2

為定值．（12分）