Question

【題目】已知函數為奇函數，且的極小值為.為函數的導函數.

（1）求和的值；

（2）若關于的方程有三個不等的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由為奇函數可得，然后將代入中，求出的極小值，根據的極小值為，可求出，的值；

（2）構造函數，將問題轉化為與軸有三個交點的問題，根據的單調性可得，從而求出的取值范圍．

解：（1）因為是奇函數，

所以恒成立，

則，

所以，

所以，

則，

令，解得或，

當時，，

當時，，

在單調遞減，在單調遞增，

所以的極小值為，

由，

解得，

所以，，

（2）由（1）可知，，

方程，

即為，

即方程有三個不等的實數根，

設，只要使曲線有3個零點即可，

設，

或分別為的極值點，

當和時，

，在和上單調遞增，

當時，

在上單調遞減，

所以，為極大值點，為極小值點.

所以要使曲線與軸有3個交點，當且僅當，

即，

解得.

即實數的取值范圍為.