Question

【題目】在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，FB是圓臺的一條母線．

（1）已知G，H分別為EC，FB的中點，求證：GH∥平面ABC；
（2）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取FC中點Q，連結GQ、QH，

∵G、H為EC、FB的中點，

∴GQ ，QH ，

又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH面GQH，∴GH∥平面ABC．

（2）解：∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3），

=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），

由題意可知面ABC的法向量為 =（0，0，3），

設 =（x0，y0，z0）為面FCB的法向量，

則 ，即 ，

取x0=1，則 =（1，﹣1，﹣ ），

∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．

∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角，

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）取FC中點Q，連結GQ、QH，推導出平面GQH∥平面ABC，由此能證明GH∥平面ABC．（2）由AB=BC，知BO⊥AC，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．