Question

【題目】已知函數，其中、是非空數集，且，設，；

（1）若，，求；

（2）是否存在實數，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數；若不存在，請說明理由；

（3）若，且，，是單調遞增函數，求集合、；

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者

或者

【解析】

(1)根據,分別代入對應的分段區間求解集合的范圍再求并集即可.

(2)先假設推出矛盾,故可得.代入可得,再分析當時與題設矛盾可得.

(3)先根據函數的單調性確定,,再證明在上存在分界點的話,這個分界點應該滿足的性質,最后根據此性質寫出滿足題意的集合即可.

(1)因為,所以,

因為,所以.

故.

(2)若,則,不符合要求.

所以,所以,因為,所以,解得.

若則 .

因為,所以的原象且

所以,得,與前提矛盾.

故

(3)因為是單調遞增函數,所以對任意的有,所以

所以,同理可證.若存在,使得,

則,于是,

記,

所以,同理可知…

由,得,

所以.

所以,故,

即,此時 .

對于任意,取中的自然數,

則.所以.

綜上所述,滿足要求的必有如下表示：

,其中或者

,其中或者

或者