Question

【題目】“金鑲玉”是北京奧運(yùn)會(huì)的獎(jiǎng)牌設(shè)計(jì)所采用的式樣,喻示中國(guó)傳統(tǒng)文化中的“金玉良緣”,體現(xiàn)了中國(guó)人對(duì)奧林匹克精神的禮贊和對(duì)運(yùn)動(dòng)員的褒獎(jiǎng).它的設(shè)計(jì)方案,創(chuàng)意十分新穎,突破了以往任何一屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌設(shè)計(jì)單一材質(zhì)的傳統(tǒng),又融入了典型的中國(guó)文化元素,是中國(guó)文化與體育精神完美結(jié)合的載體.現(xiàn)有一矩形玉片,為毫米,為32毫米,為的中點(diǎn).現(xiàn)要開(kāi)槽鑲嵌金絲,將其加工為鑲金工藝品,如圖,金絲部分為優(yōu)弧和線段其中優(yōu)弧所在圓的圓心為,圓與矩形的邊分別相切于點(diǎn)以及點(diǎn)在線段上(在的左側(cè)),分別于圓相切于點(diǎn)且.若優(yōu)弧部分鑲嵌的金絲每毫米造價(jià)為元(),線段部分鑲嵌的金絲每毫米造價(jià)為元.記銳角鑲嵌金絲的總造價(jià)為元.

（1）試表示出關(guān)于的函數(shù)并寫出的范圍;

（2）當(dāng)鑲嵌金絲的總造價(jià)最低時(shí),求出四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

(1)用分別求出優(yōu)弧的長(zhǎng)以及的長(zhǎng)，即可求出的表達(dá)式.當(dāng) 重合時(shí)， 取最小.

(2)求出，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想，求出取最小值時(shí)的的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式即可求.

(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為.

由圓與矩形相切可知,圓的半徑為16，

則，

，

因?yàn)?/span>與圓相切，切點(diǎn)為，所以，則，

所以，

即，

.

因?yàn)閮?yōu)弧的圓心角為，所以優(yōu)弧的長(zhǎng)為，

所以

.

考慮臨界狀態(tài),當(dāng) 三點(diǎn)重合時(shí)， 為直角三角形，其中，

，即.

(2)解：由(1)知

，

其中.

令，得或(舍去).

因?yàn)?/span>為銳角，所以.

當(dāng) 時(shí),，則單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí),，則單調(diào)遞增即當(dāng)時(shí),，取最小值.

此時(shí)，

.