Question

【題目】已知集合，對(duì)于，，定義與的差為；與之間的距離為.

（1）若，試寫(xiě)出所有可能的，；

（2），證明：；

（3），三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）一定有偶數(shù)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意結(jié)合新概念可直接得解；

（2）先證明、時(shí)，均有，由新概念運(yùn)算即可得證；

（3）設(shè)，，，由（2）可得，，，設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，即可得，即可得解.

（1）由題意可得，所有滿(mǎn)足要求的，為：

，；

，；

，；

，.

（2）證明：令，，，

對(duì)，

當(dāng)時(shí)，有；

當(dāng)時(shí)，有.

所以

.

（3），，，，，三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù).

理由如下：

設(shè)，，，

，，，

記，由（2）可知: ，

，，

所以中1的個(gè)數(shù)為，中1的個(gè)數(shù)為.

設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則.

由此可知，，，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，

即，，三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù).