Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， 底面.

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)

【解析】試題分析：（1）推導出BC⊥BD，PD⊥BC，從而BC⊥平面PBD，由此能證明平面PBC⊥平面PBD．

（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即為二面角P﹣BC﹣D的平面角，即，從而BD=，PD=，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AP與平面PBC所成角的正弦值．

試題解析：

（1）∵,∴

又∵底面，∴，

又∵，∴平面

而平面，∴平面平面.

（2）由（1）所證， 平面

所以即為二面角的平面角，即.

而，所以

因為底面為平行四邊形，所以，

分別以為軸建立空間直角坐標系

則，

所以

設平面的法向量為，則

即

令，則，

所以

∴與平面所成角的正弦值.