Question

已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍；

（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）增區間，減區間；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數解析式，直接利用導數求出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）將條件“在區間上為減函數”等價轉化為“不等式在區間上恒成立”，結合參數分離法進行求解；（3）構造新函數，將“不等式在區間上恒成立”等價轉化為“”，利用導數結合函數單調性圍繞進行求解，從而求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，

，

解得；解得，

故的單調遞增區間是，單調遞減區間是；

（2）因為函數在區間上為減函數，

所以對恒成立，

即對恒成立，；

（3）因為當時，不等式恒成立，

即恒成立，設，

只需即可

由，

①當時，，

當時，，函數在上單調遞減，故成立；

②當時，令，因為，所以解得，

（i）當，即時，在區間上，

則函數在上單調遞增，故在上無最大值，不合題設；

（ii）當時，即時，在區間上；在區間上．

函數在上單調遞減，在區間單調遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；

③當時，由，故，，

故函數在上單調遞減，故成立

綜上所述，實數的取值范圍是.

考點：1.函數的單調性與導數；2.分類討論；3.參數分離法