Question

【題目】對于定義在上的函數，若函數滿足：①在區間上單調遞減;②存在常數，使其值域為，則稱函數是函數的“漸近函數”.

（1）求證：函數不是函數的“漸近函數”；

（2）判斷函數是不是函數，的“漸近函數”，并說明理由；

（3）若函數，，，求證：是函數的“漸近函數”充要條件是.

Answer 1

【答案】見解析；是,理由見解析；見解析.

【解析】

利用指數型函數的單調性、單調性的性質證明出函數至少不滿足定義中兩條性質中的一條即可;

用反比例函數的單調性可以判斷函數是否滿足定義中的兩條性質,進而可以判斷出函數是不是函數，的“漸近函數”；

根據定義可知,函數在區間上單調遞減，根據單調性的定義可以求出的取值范圍,再利用定義中的第二條性質再求出的取值范圍,最后對兩個范圍取交集即為的值.

證明:因為函數=

即,由指數函數的單調性和復合函數的單調性可知,

函數滿足在上單調遞減;

當時,，，

所以當時,函數趨近于負無窮大,

此時不滿足存在常數，使其值域為,

所以函數不是函數的“漸近函數”；

函數是函數，的“漸近函數”,理由如下:

因為,

化簡可得,，

由反比例函數的單調性可知,函數是減函數;

當時, 函數有最大值為,

所以存在使函數的值域為

由此可得滿足條件①②.

證明:(必要性)因為是函數的“漸近函數”,

令,則在區間上單調遞減;

設,且則有

因為,且，所以,

即,

因為在區間上單調遞減,且,

所以必有，即有,

所以必有成立;

因為在區間上單調遞減,

所以當時,有最大值為,

即函數的值域必為，

即當時,有,即必有成立,

化簡可得,即,

所以此時有成立;

綜上可知,滿足條件①②的實數為.

(充分性)當時,，

由反比函數的單調性知,滿足

在區間上單調遞減,且其值域為,滿足條件①②;

所以是函數的“漸近函數”充要條件是.