Question

以下四個命題：
①f（x）=3cos（2x-

π

3

)的對稱軸為x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)；
②g（x）=2sin（

π

6

-x）的遞增區間是[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]；
③已知

sinα+cosα

sinα-cosα

=3且tan(α-β)=2，則tan(β-2α)=

4

3

④若θ是第二象限角，則tan

θ

2

＞cot

θ

2

且sin

θ

2

＞cos

θ

2

其中，正確命題的序號為

①③

．

Answer 1

分析：由2x-

π

3

=kπ，k∈z 求出①中函數的對稱軸為x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)，故①正確．
由 2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z 求得②中函數的增區間，可得②不正確．
由

sinα+cosα

sinα-cosα

=3 可得 tanα=2，代入tan（α-β）=2求得tanβ=0，計算tan（β-2α）=

4

3

，故③正確．
通過舉反例可得④不正確．

解答：解：①由2x-

π

3

=kπ，k∈z 可得 x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)，故 f（x）=3cos（2x-

π

3

)的對稱軸為x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)，
故①正確．
②由 2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得  

2π

3

+2kπ≤x≤

5π

3

+2kπ，k∈z，
故增區間為[

2π

3

+2kπ ，

5π

3

+2kπ]，k∈z，故②不正確．
③由

sinα+cosα

sinα-cosα

=3 可得

tanα+1

tanα-1

=3，∴tanα=2．再由tan（α-β）=2=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2-tanβ

1+2tanβ

 
可得tanβ=0．∴tan（β-2α）=

tanβ-tan2α

1+tanβtan2α

=-tan2α=-

2tanα

1-tan2α

=

4

3

，故③正確．
④不正確，如θ=2π+

2π

3

時，

θ

2

=π+

π

3

，sin

θ

2

=-

3

2

，cos

θ

2

=-

1

2

，sin

θ

2

＞cos

θ

2

 不成立，
綜上，只有①③正確，②④不正確．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查三角函數的對稱性、單調性，同角三角函數的基本關系，及二倍角公式的應用，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．