Question

【題目】如圖①，在平行四邊形中，，，，于點，將沿折起，使，連接、，得到如圖②所示的幾何體．

（1）求證：平面平面；

（2）若點在線段上，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AC中點M，建系，利用向量證明DM⊥AB，DM⊥BC即可得出DM⊥平面ABC，故而平面ACD⊥平面ABC；（2）做出直線PD與平面BCD所成角，求出P到平面BCDE的距離，代入體積公式即可．

（1）證明：∵，，，∴平面，

以為坐標原點，以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖：

則，，，，設的中點為，則，

∴，，，

∴，，∴，，

又，平面，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）過作，垂足為，連接，則，∴平面，

∴為直線與平面所成的角．

設，則，故，∴，

∴，解得，即.

∵，，，

∴，∴．∴，

∴三棱錐的體積.