Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.

（1）證明：AB⊥PD.

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、線面垂直的性質進行證明即可；

（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，根據空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）證明：連結BD，

∵在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，

底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.

∴BD＝AD，

∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，

∴AD⊥PD，BD⊥PD，

∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，

∵AB平面ABCD，∴AB⊥PD.

（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，

以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），

（），（0，，），（，，），

設平面ABP的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，1，1），

設平面PBC的法向量，

則，取，得（﹣1，1，1），

設二面角A﹣PB﹣C的平面角為θ，

則二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：cosθ.