Question

經過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點、．

（1）求軌跡的方程；

（2）證明：；

（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程。

Answer 1

（1）方法1：設動圓圓心為，依題意得，．

整理，得．所以軌跡的方程為

方法2：設動圓圓心為，依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等，

根據拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線．

且其中定點為焦點，定直線為準線．

所以動圓圓心的軌跡的方程為．

（2）由（1）得，即，則．

設點，由導數的幾何意義知，直線的斜率為．

由題意知點．設點，，

則，

即．

因為，．

由于，即．

所以．

（3）方法1：由點到的距離等于，可知．

不妨設點在上方（如圖），即，直線的方程為：．

由

解得點的坐標為．

所以．

由（2）知，同理可得．

所以△的面積，

解得．

當時，點的坐標為，，

直線的方程為，即．

當時，點的坐標為，，

直線的方程為，即．

方法2：由點到的距離等于，可知．

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨設點在上方（如圖），即，由①、②解得

因為，

同理． 

以下同方法1．

【解析】