Question

【題目】如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.

(1)證明：EM⊥BF；

(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證線線垂直，一般是用線面垂直的性質定理，先證線面垂直，本題從圖中看，想象能不能證明，為此要證，對，因為是在平面上的射影，且，從而有，對，可通過求出的三邊長，由勾股定理得結論；當然結合第（2）小題求二面角，我們還可以以A為坐標原點，過點A垂直于AC的直線為x軸，AC、AE所在的直線分別為y、z軸建立空間直角坐標系．通過向量法證明線線垂直，（2）通過二面角的兩個面的法向量來求得二面角．

試題解析：（1）證法一：，，又∵BM⊥AC，

①

而，，

即

∴②③

由①②③得，∴EM⊥BF

證法二：在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝30°

∴AB＝2，BC＝2，又BM⊥AC

則AM＝3，BM＝．

如圖，以A為坐標原點，過點A垂直于AC的直線為x軸，AC、AE所在的直線分別為y、z軸

建立空間直角坐標系．

由已知條件得A（0，0，0），M（0，3，0），E（0，0，3），B（，3，0），F（0，4，1），

∴＝（0，－3，3），＝（－，1，1）．

由·＝（0，－3，3）·（－，1，1）＝0，

得⊥，∴EM⊥BF．

（2）解：由（1）知＝（－，－3，3），＝（－，1，1）．

設平面BEF的法向量為n＝（x，y，z），

由n·＝0，n·＝0，得

令x＝得y＝1，z＝2，∴n＝（，1，2），

由已知EA⊥平面ABC，

所以取面ABC的法向量為＝（0，0，3），

設平面BEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，

則，

平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為．