Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=

π

3

，其中AC與BD交于點G，A₁點在面ABCD上的射影0恰好為線段AD的中點．
（1）求點G到平面ADD₁A₁距離；
（2）若D₁G與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為

3

4

，求二面角D₁-OC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BO，取DO中點H，連接GH，由題意可得：平面AD₁⊥平面AC，進而證明BO⊥平面AD₁，由GH與OB的關系可得答案．
（2）建立空間直角坐標系，根據題意分別求出兩個平面的法向量，結合向量間的運算關系求出兩個向量的夾角．進而轉化為二面角的平面角．

解答：解：（1）連接BO，取DO中點H，連接GH，
因為A₁O⊥平面AC，所以平面AD₁⊥平面AC，
又底面為菱形，O為AD中點，
所以BO⊥平面AD₁，
因為GH∥BO，
所以GH⊥平面AD₁，
又GH=

1

2

BD=

3

2

，
所以點G到平面ADD₁A₁的距離為

3

2

．
（2）分別以OA，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，
則 G(-

1

2

，

3

2

，0)，D₁（-2，0，a），所以

D1G

=(

3

2

，

3

2

，-a)，
面AD₁的一個法向量n=(0，

3

，0)，
所以cos?n，

D1G

＞=

3 2

3 • a2+3

=

3

4

，解得a=1，
因為面OCD的一個法向量為n=（0，0，1），
設面OCD₁的一個法向量為p=（x，y，z），則

OD1

=(-2，0，1)，

OC

=(-2，

3

，0)，
則有

p• OC =0 p• OD1 =0.

所以

-2x+ 3 y=0 -2x+z=0

，
取x=

3

，m=(

3

，2，2

3

)，
則cos＜p，m＞=

2 3

19

=

2 57

19

，
所以二面角D-OC-D₁的大小為arccos

2 57

19

．

點評：夾角成立問題的關鍵是數列掌握幾何體的結構特征，以便得到線面關系以及建立坐標系，利用向量夾角空間角，空間距離等問題．