Question

（2013•貴陽二模）選修4-4：坐標系與參數方程
 在極坐標系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

，
（I）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．求圓O和直線l的直角坐標方程；
（II）當θ∈（0，π）時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把給出的極坐標方程兩邊同時乘以ρ，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得圓的普通方程．展開兩角差的正弦公式，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得直線的普通方程．
（Ⅱ）求出圓與直線的交點坐標（0，1），由該點在極坐標平面內的位置得到其極徑與極角．

解答：解：（Ⅰ）圓O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
所以圓O的直角坐標方程為：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0．
直線l：ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

，即ρsinθcos

π

4

-ρcosθsin

π

4

=

2

2

，
也就是ρsinθ-ρcosθ=1．
則直線l的直角坐標方程為：y-x=1，即x-y+1=0．
（Ⅱ）由

x2+y2-x-y=0 x-y+1=0

，得

x=0 y=1

．
故直線l與圓O公共點為（0，1），該點的一個極坐標為(1，

π

2

)．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化，考查了直線與圓的位置關系，解答的關鍵是熟記公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，是基礎題．