Question

本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15）．求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是（α是參數）．
現以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，寫出曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
解不等式|2x+1|-|x-4|＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出M=，則根據二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量得到關于a，b，c，d的方程再根據矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），又可得到關于a，b，c，d的方程
組成四元一次方程組即可求解
（2）先消去參數得出曲線C的直角坐標方程再結合：x²+y²=ρ²，y=ρcosθ寫出曲線C的極坐標方程為即可；
（3）令y=|2x+1|-|x-4|，通過分類討論寫出：，作出函數y=|2x+1|-|x-4|的圖象觀察圖象得到|2x+1|-|x-4|＞2的解集．
解答：解：（1）解：設M=，則=3=，故（3分）
=，故（5分）
聯立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=．（7分）
（2）解：曲線C的直角坐標方程是（x-2）²+y²=4，（3分）
因為x²+y²=ρ²，y=ρcosθ，（5分）
故曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（7分）
（3）解：令y=|2x+1|-|x-4|，則（3分）
作出函數y=|2x+1|-|x-4|的圖象，
它與直線y=2的交點為（-7，2）和（6分）
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集為（7分）
點評：本小題主要考查幾種特殊的矩陣變換、簡單曲線的極坐標方程、圓的參數方程、絕對值不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．