Question

如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成：△ABC中邊長為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線旋轉一圈，然后又以A為圓心AA₃為半徑畫弧，這樣畫到第n圈，則所得螺旋線的長度l_n=

（3n²+n）π

．（用π表示即可）

Answer 1

分析：根據弧長公式分別求出CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度，從而可知是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數為3n的等差數列，然后利用等差數列求和公式進行求解即可．

解答：解：根據弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π× 2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化簡得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此數列是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數為3n的等差數列，則根據等差數列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案為：（3n²+n）π

點評：本題主要考查了等差數列的性質和數列的求和，解題的關鍵是歸納總結得到各弧長成等差數列，屬于中檔題．