Question

【題目】設橢圓（）的左右焦點分別為，橢圓的上頂點為點，點為橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點的直線交橢圓于兩點，求線段的中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

利用向量的坐標表示及運算表示出點坐標,代入橢圓的方程即可求解;

由知,結合求出橢圓的方程，分兩種情況線段在軸上和線段不在軸上求解點，當線段不在軸上, 設直線的方程為，，，代入橢圓方程，利用韋達定理和中點坐標公式,消去參數即可.

（1） 設（），，，

所以，得

，即，

又∵（）在橢圓上，

∴，得，即橢圓的離心率為.

（2） 由（1）知，.又∵，，

解得，，∴橢圓的方程為.

當線段在軸上時，線段的中點為坐標原點（0，0）.

當線段不在軸上時，設直線的方程為，，，

將直線的方程為代入橢圓方程中，得.

∵點在橢圓內部，∴，，則，

∴點的坐標滿足，，消去得，（）.

綜上所述，點的軌跡方程為.