Question

【題目】已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？

（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），拋物線；（2）存在，.

【解析】

（1）設，易得，化簡即得；

（2）利用導數幾何意義可得，要使，只需.

聯立直線m與拋物線方程，利用根與系數的關系即可解決.

（1）設，由題意，得，化簡得，

所以動圓圓心Q的軌跡方程為，

它是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線.

（2）不妨設.

因為，所以，

從而直線PA的斜率為，解得，即，

又，所以軸.

要使，只需.

設直線m的方程為，代入并整理，

得.

首先，，解得或.

其次，設，，

則，.

.

故存在直線m，使得，

此時直線m的斜率的取值范圍為.