Question

【題目】已知橢圓過點P（2，1）．

（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；

（2）過點P作x軸的垂線l，設點A為第四象限內一點且在橢圓C上（點A不在直線l上），點A關于l的對稱點為A'，直線A'P與C交于另一點B．設O為原點，判斷直線AB與直線OP的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）將點代入橢圓方程，求出，結合離心率公式即可求得橢圓的離心率；（2）設直線，，設點的坐標為，，分別求出，，根據斜率公式，以及兩直線的位置關系與斜率的關系即可得結果.

（1）由橢圓方程橢圓過點P（2，1），可得．

所以，

所以橢圓C的方程為+=1，離心率e==，

（2）直線AB與直線OP平行．證明如下：

設直線，，

設點A的坐標為（x1，y1），B（x2，y2），

由得，

∴，∴

同理，所以，

由，

有，

因為A在第四象限，所以，且A不在直線OP上．

∴，

又，故，

所以直線與直線平行．