Question

【題目】已知拋物線的準線與x軸的交點為H，點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且，當k最大時，點P恰好在以H，F為焦點的雙曲線上，則k的最大值為_____，此時該雙曲線的離心率為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

畫出拋物線，過作拋物線準線于，連接，設直線的傾斜角為，由拋物線定義可得，由題意當k最大時，取得最小值.而當取得最小時，直線與拋物線相切，設出直線方程，聯立拋物線可求得，進而得切點坐標，即可由雙曲線定義及幾何性質求得離心率.

根據題意畫出拋物線，過作拋物線準線于，連接.

由拋物線定義可知，由，（），

設直線的傾斜角為，則，

可得，

當k最大時，取得最小值，且，

當取得最小值時直線與拋物線相切，

設直線的方程為，

則，化簡可得，

因為直線與拋物線相切，則，

解得，由可得，同時可得切點橫坐標為，

將切點橫坐標帶入拋物線可得，

因為點P恰好在以H，F為焦點的雙曲線上，

由雙曲線定義及兩點間距離公式可得，

，

所以雙曲線離心率為，

故答案為：1；.