Question

【題目】已知函數，．證明：

（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；

（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且對(1)中的x0，有x0＋x1<2．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

(1)求導后根據極值點的存在性定理證明即可.

(2)令,換元將m再構造函數,分析的單調性,結合(1)中的結論求得存在唯一的,使,再根據零點的大小關系即可證明.

證明：(1)當x∈（0,1）時,f′(x)＝＞0,函數f(x)在（0,1）上為增函數．又f(0)＝-e+1<0,f(1)＝3>0,所以存在唯一x0∈（0,1）,使f(x0)＝0．

(2)當x∈（1,2）時,,

令,x=2-t,x∈（1,2）,t∈（0,1）,

,t∈（0,1）

記函數,t∈（0,1）．

則h′(t)＝．

由(1)得,當t∈(0,x0)時,f(t)<0,h′(t)＞0,

當t∈(x0,1)時,f(t)>0,h′(t)<0．

故在(0,x0)上h(t)是增函數,又h(0)＝0,從而可知當t∈(0,x0]時,h(t)>0,所以h(t)在(0,x0]上無零點．

在(x0,1)上h(t)為減函數,由h(x0)>0,h(1)＝－ln2<0,知存在唯一t1∈(x0,1),使h(t1)＝0,

故存在唯一的t1∈(0,1),使h(t1)＝0．

因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1,2),使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．

因為當t∈(0,1)時,1＋t>0,故與g(2－t)有相同的零點,所以存在唯一的x1∈（1,2）,使g(x1)＝0．

因為x1＝2－t1,t1>x0,所以x0＋x1<2．