Question

（本小題滿分14分）
已知定義域為[0, 1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;
②f（1）＝1; 
③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 則有f（x₁＋x₂） ≥ f（x₁）＋f（x₂）．
（1）試求f（0）的值;
（2）試求函數f（x）的最大值；
（3）試證明：當x, nN_＋時，f（x）<2x．

Answer 1

（1）f（0）＝0
（2）f（x）取最大值1．
（3）略

（1）令x₁＝x₂＝0,依條件（3）可得f（0＋0）≥2f（0）,即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0 故f（0）＝0                              …………3分
（2）任取0≤x₁<x₂≤1可知x₂－x₁（0,1],則              
f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]≥f（x₂－x₁）＋f（x₁）≥f（x₁）
于是當0≤x≤1時,有f（x）≤f（1）＝1因此當x＝1時,f（x）取最大值1．…………8分
（3）證明：先用數學歸納法證明:當x（nN_＋）時,f（x）≤
1⁰當n＝1時,x，f（x）≤f（1）＝1＝,不等式成立．
當n＝2時,x,<2x≤1,f（2x）≤1,f（2x）≥f（x）＋f（x）＝2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤ 不等式成立．
2⁰假設當n＝k（kN_＋,k≥2）時,不等式成立,即x時，f（x）≤
則當n＝k＋1時,x,記t＝2x，則t＝2x, ∴f（t）≤
而f（t）＝f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤f（2x）＝f（t）≤
因此當n＝k＋1時不等式也成立．
由1⁰,2⁰知,當x（nN_＋）時,f（x）≤
又當x（nN_＋）時,2x>, 此時f（x）<2x．
綜上所述：當x（nN_＋）時,有f（x）<2x． ………… 14分