Question

【題目】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓．

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；

（2）設(shè)圓過(guò)點(diǎn)，求直線與圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓的方程為．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓的方程為．

【解析】

（1）設(shè)，，，與拋物線方程聯(lián)立可得，，可證的斜率與的斜率之積為，即可得證明結(jié)論.
（2）因?yàn)閳A的直徑為，且過(guò)點(diǎn)，由圓的性質(zhì)得出，結(jié)合（1）中的韋達(dá)定理，代數(shù)化簡(jiǎn)求得的值，因此得出直線的方程和圓的方程.

解：（1）證明：設(shè)，，，

由，可得，則．

又，，故．

因此的斜率與的斜率之積為，

所以，故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上．

（2）由（1）可得，

，

故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑．

由于圓過(guò)點(diǎn)，因此，

故，

即，

由（1）可知，，

所以，解得，或．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，

圓的半徑為，圓的方程為．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，

圓的半徑為，圓的方程為．