Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明：；

（3）求證：對任意正整數，都有（其中，為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出，按在定義域是否恒成立分類討論，不恒成立，求出，的解，即可求出結論；

（2）要證，只需證，令，只要證，求導，求出極值最值，即可得證；

（3）由（2）得（當且僅當時等號成立），令，則，結合，累加再利用裂項相消法，對數運算，即可得出結論.

（1）函數的定義域為，，

①當時，，所以在上單調遞增；

②當時，令，解得：，

當時，，所以在上單調遞減，

當時，，所以在上單調遞增.

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）當時，，

要證明，即證，即，

設，則，令得，.

當時，，當時，，

所以為極大值點，也為最大值點，

所以，即，

故.

（3）由（2）得（當且僅當時等號成立），

令，則，

所以

，

即，

所以.