Question

【題目】已知橢圓C的焦點在x軸上，離心率等于 ，且過點（1， ）． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若 =λ1 ， =λ2 ，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C的焦點在x軸上，∴設橢圓C的方程為 =1（a＞b＞0）， ∵離心率等于 ，且過點（1， ），
∴ ，解得 ，
∴橢圓C的標準方程為 ．
證明：（Ⅱ）設點A，B，M的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（0，y0），
又由題意知F點的坐標為F（2，0），直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x﹣2），
聯立 ，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，
∴ ， ，
又∵ ， = ，
將各點坐標代入得 ， ，
∴
=
= =﹣10
【解析】（Ⅰ）設橢圓C的方程為 =1（a＞b＞0），由離心率等于 ，且過點（1， ），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．（Ⅱ）設直線l的方程是y=k（x﹣2），與橢圓聯立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，由此利用韋達定理、向量相等，結合已知條件能證明λ1+λ2為定值．