Question

【題目】已知拋物線y2=﹣x與直線y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B兩點，O是坐標原點．
（1）當k= 時，求|AB|的長；
（2）求證無論k為何值都有OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程組 ，

消去x后整理得 ，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

解得 ， ．

可得

（2）證明：由方程組 ，

消去x后整理得ky2+y﹣k=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達定理，得y1y2=﹣1，

由A，B在拋物線y2=﹣x上，

可得 ， ， ，

則 ，

即有無論k為何值都有OA⊥OB

【解析】（1）聯立直線方程和拋物線的方程，消去x可得y的方程，求得A，B的坐標，運用兩點的距離公式，即可得到所求值；（2）聯立直線方程和拋物線方程，可得y的方程，運用韋達定理，由A，B在拋物線y2=﹣x上，代入拋物線方程，再由直線的斜率公式，結合兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，即可得證．