Question

【題目】已知直線L: y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A、B兩點（異于原點），

（1）若直線L過拋物線焦點，求線段 |AB|的長度；

（2）若OA⊥OB ，求m的值；

Answer 1

【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.

【解析】

（1）把直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦長公式可求；
（2）由于OA⊥OB，從而有x1x2+y1y2=0，利用韋達定理可得方程，從而求出m的值．

(1)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，拋物線y2＝8x的焦點坐標為(2,0)

直線L: y＝x＋m過點(2,0)，得m=2,

直線L:y=x2與拋物線y2=8x聯立可得x212x+4=0，

∴x1+x2=12, x1x2=4，

∴.

(2)聯立，得

.

∵OA⊥OB,∴

.

m=0或m=8,

經檢驗m=8.