Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.
（理）對于數列，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列. 某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數,公比為正整數的無窮等比數列的子數列問題. 為此，他任取了其中三項.
(1) 若成等比數列,求之間滿足的等量關系；
(2) 他猜想：“在上述數列中存在一個子數列是等差數列”，為此，他研究了與的大小關系，請你根據該同學的研究結果來判斷上述猜想是否正確；
(3) 他又想：在首項為正整數,公差為正整數的無窮等差數列中是否存在成等比數列的子數列？請你就此問題寫出一個正確命題,并加以證明.

Answer 1

(1) ；(2)不成立；(3) 對于首項為正整數，公差為正整數的無窮等差數列，總可以找到一個無窮子數列,使得是一個等比數列.

試題分析：(1)由已知可得：,      1分
則,即有,        3分
，化簡可得. .      4分
(2) ,又,
故 ,   6分
由于是正整數，且，則,
又是滿足的正整數，則,
,
所以，> ,從而上述猜想不成立.         10分
(3)命題:對于首項為正整數，公差為正整數的無窮等差數列，總可以找到一個無窮子數列,使得是一個等比數列.   13分
此命題是真命題,下面我們給出證明.
證法一: 只要證明對任意正整數n,都在數列{a_n}中.因為b_n=a(1+d)ⁿ=a(1+d+d²+…+dⁿ)=a(Md+1)，這里M=+d+…+d^n-1為正整數，所以a(Md+1)=a+aMd是{a_n}中的第aM+1項，證畢.      18分
證法二：首項為,公差為( )的等差數列為,考慮數列中的項:
依次取數列中項,,
,則由,可知,并由數學歸納法可知,數列為的無窮等比子數列.    18分
點評：此題考查了等差數列的性質即通項公式，同時本題屬于新定義及結論探索性問題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準問題的突破點，由淺入深，多角度、多側面探尋，聯系符合題設的有關知識，合理組合發現新結論，圍繞所探究的結論環環相扣，步步逼近發現規律，得出結論．熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．