Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣x2+ax，a∈R．

（Ⅰ）證明lnx≤x﹣1；

（Ⅱ）若a≥1，討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）令進而求導求最值即可證得；

（Ⅱ）求函數導數，分析單調性，由f（1＞0，及，利用零點存在定理即可得解.

（Ⅰ）證明：令，

可得：x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．

∴可得x＝1時，函數g（x）取得極大值即最大值，∴g（x）≤g（1）＝0，即lnx≤x﹣1．

（II）解：根據題意，．

令，解得 ，（負值舍去），

在（0，x0）上，，函數f（x）單調遞增；在（x0，+∞）上，，函數f（x）單調遞減．

∴f（x）max＝f（x0）．

當a＝1時，x0＝1，f（x）max＝f（1）＝0，此時函數f（x）只有一個零點1．

當a＞1時，，f（1）＝a﹣1＞0， ．

．

∴函數f（x）在區間和區間（1，2a）上各有一個零點．

綜上可得：當a＝1時，函數f（x）只有一個零點1．

當a＞1時，函數f（x）有兩個零點．