Question

【題目】已知點是拋物線：上的一點，其焦點為點，且拋物線在點處的切線交圓：于不同的兩點，.

（1）若點，求的值；

（2）設點為弦的中點，焦點關于圓心的對稱點為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用導數求出過點的拋物線的切線，切線與圓相交，根據弦心距、半徑、弦長的關系求解即可；

（2）設點，聯立切線與圓的方程消元可得一元二次方程，由韋達定理求出中點的坐標，由兩點間距離公式表示出，令換元，利用函數的單調性即可求出取值范圍.

設點，其中.

因為，所以切線的斜率為，于是切線：.

（1）因為，于是切線：.

故圓心到切線的距離為.

于是.

（2）聯立得.

設，，.則，.

解得

又，于是.

于是，.

又的焦點，于是.

故.

令，則.于是.

因為在單調遞減，在單調遞增.

又當時，；當時，；

當時，.

所以的取值范圍為.