Question

【題目】若數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)于任意，均為數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．

（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和，，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說(shuō)明理由；

（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且對(duì)于任意，均有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）不是，見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步驗(yàn)證時(shí)，是否為數(shù)列中的項(xiàng)，即可得答案；

（2）由題意得，再對(duì)公差進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得答案；

（3）由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，再根據(jù)不等式得到公差的值，即可得答案；

（1）當(dāng)時(shí)，

又，所以．

所以

當(dāng)時(shí)，，而，

所以時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，故數(shù)列不是為“數(shù)列”

（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，

所以．

因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”

所以任意，存在，使得，即有．

①若，則只需，使得，從而得是數(shù)列中的項(xiàng)．

②若，則．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不為正整數(shù)，所以不符合題意．綜上，．

（3）由題意，所以，

又因?yàn)?/span>，且數(shù)列為“數(shù)列”，

所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

設(shè)數(shù)列的公差為，則有，

由，得，

整理得，①

．②

若，取正整數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，，

與①式對(duì)應(yīng)任意恒成立相矛盾，因此．

同樣根據(jù)②式可得，

所以．又，所以．

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，①②兩式對(duì)應(yīng)任意恒成立，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．