Question

【題目】已知拋物線E：過點，過拋物線E上一點作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點．

（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）若直線MN的斜率為，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線E的方程為，焦點坐標為，準線方程為；（2）或

【解析】

（1）將點代入拋物線方程，可求出拋物線E的方程，進而可求出焦點坐標及準線方程；

（2）設，，可表示出直線及的斜率的表達式，進而可表示出兩直線的方程，再結合直線和圓相切，利用點到直線的距離等于半徑，可得，滿足方程，從而得到，又直線MN的斜率為，可求出的值，即可求出點P的坐標.

（1）將點代入拋物線方程得，，所以拋物線E的方程為，焦點坐標為：，準線方程為：．

（2）由題意知，，設，，

則直線的斜率為，同理，直線PN的斜率為，

直線MN的斜率為，故，

于是直線的方程為，即，

由直線和圓相切，得，

即，

同理，直線PN的方程為，

可得，

故，是方程的兩根．

故，即，

所以，解得或．

當時，；當時，．

故點P的坐標為或．