Question

【題目】已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：交于點A，B，且（點O為坐標原點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q使得點P到直線AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點Q坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）軸上存在點，使得點到直線，的距離相等.

【解析】

（1）設過點的動直線為＝，聯立拋物線的方程，設，，運用韋達定理，結合向量的數量積的坐標表示，化簡可得，進而得到拋物線方程；

（2）軸上假設存在點符合題意，由題意可得＝，運用直線的斜率公式和韋達定理，化簡可得的值，即可判斷存在性．

（1）設過點的動直線為＝，

代入拋物線＝，可得＝，

設，，

可得＝，

由可得＝＝，

解得＝，則拋物線的方程為＝；

（2）當直線變動時，軸上假設存在點使得點到直線，的距離相等，

由角平分線的判定定理可得為的角平分線，即有＝，

由（1）可得＝，＝，

則，

化為＝，

即為＝，

化簡可得＝，

則軸上存在點，使得點到直線，的距離相等．