Question

【題目】已知函數.

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）用定義證明函數在上單調遞減；

（3）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數；見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）因為中含有對數，定義域需滿足真數大于0，求得定義域為，關于原點對稱，再表示，判斷其等于，為偶函數；

（2）設任意，對作差，化簡后由真數大于1的對數大于0，得，即得證明；

（3）由（1）（2）可知是偶函數且在區間的單調遞減，由偶函數的性質以及函數成立需滿足定義域從而構建不等式組，解之得答案.

（1）因為，所以函數的定義域為，

因為，所以是偶函數；

（2）任取且，

則，

因為且，所以，

所以，

即，所以在區間上單調遞減.

（3）因為是偶函數，所以，

又因為定義域為，且在區間的單調遞減，

因為，所以，解之得

所以的取值范圍是.