Question

本小題滿分12分如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。   （I）求證：A₁B⊥B₁C； （II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：

   （I）由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，

所以AC⊥AB。

因為ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB₁A₁。………………3分

由，知側面ABB₁A₁是正方形，連結AB₁，

所以A₁B⊥AB₁。

由三垂線定理得A₁B⊥B₁C。  ………………6分

   （II）作BD⊥B₁C，垂足為D，連結A₁D。

由（I）知，A₁B⊥B₁C，則B₁C⊥面A₁BD，

于是B₁C⊥A₁D，

則∠A₁DB為二面角

A₁—B₁C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，

故二面角A₁—B₁C—B的大小為………………12分

 

解法二：由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，所以AC⊥AB。

如圖建立空間直角坐標系

  …2分

   （I），

……6分

   （II）作，垂足為D，連結A₁D。

設

，

所以等于二面角A₁—B₁C—B的大小。  ………………10分

，故二面角A₁—B₁C—B的大小為……12分