Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為右頂點為過右焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點，所得四邊形為菱形，且其面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過左焦點的直線與橢圓交于兩點，試求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由橢圓的對稱性及四邊形為菱形知，可得的縱坐標為，四邊形的面積為，結合的關系求解出，即可得到得答案.
(2) 設，設直線的方程為:由直線方程與橢圓方程聯立，得到的表達式，求出三角形面積的表達式，再求其最大值.

（1）如圖，因橢圓的對稱性及四邊形為菱形知，

即，即①

令，得點的縱坐標為

由四邊形的面積為

故

即

又③

聯立得:

故橢圓方程為

（2）由知:

設直線的方程為:

假設.

由得:

即

由得:

，故.

令

則

設

由可知: 單調遞增，

故