Question

【題目】在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸（兩坐標系取相同的單位長度）的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數方程為（θ為參數）.

（1）求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程；

（2）將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0，C2的普通方程為x2＋y2＝1；

（2）.

【解析】

（1）由極坐標與直角坐標的互化公式，化簡即可求得C1的直角坐標方程，結合三角函數的基本關系式，消去參數，即可求得C2的普通方程；

（2）將曲線C2經過伸縮變換得到曲線C3C3的參數方程為為參數），設N（2cosα，2sinα），利用點到直線的距離公式，求得d有最小值，即可求解.

（1）由題意，曲線C1的極坐標方程是，

即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，

所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0.

因為曲線C2的參數方程為（θ為參數），所以x2＋y2＝1，

故C2的普通方程為x2＋y2＝1.

（2）將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，

則曲線C3的參數方程為為參數）.

設N（2cosα，2sinα），則點N到曲線C1的距離

（其中滿足）

當sin（α＋φ）＝1時，d有最小值，

所以|MN|的最小值為.