Question

【題目】已知Sn為數列{an}的前n項和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項an；
（2）若bn= ，求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）設ck= ，{ck}的前n項和為An ， 是否存在最小正整數m，使得不等式An＜m對任意正整數n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a2=S1+1=a1+1=2；

當n≥2時，Sn+1=an+1，Sn﹣1+1=an，相減得an+1=2an，

又a2=2a1，

{an}是首項為1，公比為2的等比數列，

∴

（2）解：由（1）知 ，

∴ ，

∴ ，

，

兩式相減得 = ，

∴

（3）解：CK= =

= ．

∴ = = ．

若不等式∴ ＜m對任意正整數n恒成立，則m≥2，

∴存在最小正整數m=2，使不等式∴ ＜m對任意正整數n恒成立

【解析】（1）在數列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，作差后即可證得數列為等比數列，代入等比數列的通項公式得答案；（2）把數列{an}的通項代入bn= ，然后利用錯位相減法求數列{bn}的前n項和Tn；（3）把Sk ， Tk代入ck= ，整理后利用裂項相消法化簡，放縮后可證得數列不等式．
【考點精析】掌握數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．