Question

【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中點．

(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面A1B1D的法向量的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

(2) 由(1)知＝(－1，2，3)，＝(－2，4，0)，求得平面B1DC1的法向量，利用下向量的夾角公式，即可求解.

(1) 在直三棱柱中，有AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

故可以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為AB＝2，AC＝4，AA1＝3，

所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)．

因為D是BC的中點，所以D(1，2，0)，所以．

設(x1，y1，z1)為平面A1B1D的法向量，

因為，

所以，即，

令y1＝3，則x1＝0，z1＝2，所以平面A1B1D的一個法向量為 (0，3，2)．

設直線DC1與平面A1B1D所成的角為θ，

則，

所以直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值為.

(2) 由(1)知＝(－1，2，3)，＝(－2，4，0)，

設＝(x2，y2，z2)為平面B1DC1的法向量，則，即,

令x2＝2，則y2＝1，z2＝0，所以平面B1DC1的一個法向量為＝(2，1，0)．

同理可以求得平面A1DC1的一個法向量n3＝(3，0，1)，

所以，

由圖可知二面角的余弦值為.