Question

函數f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中P，M為實數集R的兩個非空子集，又規定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．給出下列四個判斷其中正確的序號為

②④

：
①若P∩M=∅，則f（P）∩f（M）=∅；   
②若P∩M≠∅，則f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，則f（P）∪f（M）=R；  
④若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R．

Answer 1

分析：根據函數f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

，可借助兩個函數y=x與y=-x圖象來研究，分析可得答案．

解答：解：由題意知函數f（P）、f（M）的圖象如圖所示．
設P=[x₂，+∞），M=（-∞，x₁]，
∵|x₂|＜|x₁|，f（P）=[f（x₂），+∞），f（M）=[f（x₁），+∞），∴P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x₁），+∞）≠∅，故①錯誤．
同理可知②正確．
設P=[x₁，+∞），M=（-∞，x₂]，
∵|x₂|＜|x₁|，則P∪M=R．
f（P）=[f（x₁），+∞），f（M）=[f（x₂），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x₁），+∞）≠R，故③錯誤．
④若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R．這是不對的
∵f（x）是函數，對于定義域內的值x，都有唯一確定的值與之對應．
∴在x∈P∩M的時候，x=-x，即x只能為0，
也就是說，P和M若有交集，則只能為{0}
若要讓f（x）取到R上每一個點，就要求定義域在R上不能有遺漏，
∴P∪M≠R時，必定f（P）∪f（M）≠R，故④正確
故答案為：②④

點評：本題考查對題設條件的理解與轉化能力，借助圖形的直觀來來幫助判斷命題的正誤，以形助數，是解題的關鍵．