Question

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；

（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可得,根據平行直線的性質可得,進而求證；

（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數量積求解；

（3）設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.

（1）證明:取中點為,連接,

因為是等邊三角形,所以,

因為且相交于,所以平面,所以,

因為,所以,

因為,在平面內,所以,

所以.

（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,

因為在棱上,可設,

所以,

設平面的法向量為,因為,

所以,即,令,可得,即,

設直線與平面所成角為,所以,

可知當時,取最大值.

（3）設,則有,得,

設,那么,所以,

所以.

因為,

,

所以.

又因為,所以,

,設平面的法向量為,

則,即,,可得,即

因為在平面內,所以,所以,

所以,即,

所以或者（舍）,即.