Question

定義y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數f（x）=F（x，2）-3x，過坐標原點O作曲線C：y=f（x）的切線l，切點為P（n，t）（n＞0），設曲線C與l及y軸圍成圖形的面積為S，求S的值．
（Ⅱ）令函數g（x）=F（x，2）+alnx，討論函數g（x）是否有極值，如果有，說明是極大值還是極小值．
（Ⅲ）證明：當x，y∈N*且x＜y時，F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定切線方程，再利用定積分知識求面積；
（II）求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的極值；
（III）令，證明h（x）在[1，+∞）上單調遞減，1≤x＜y時，，從而可得結論．
解答：（I）解：∵y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
∴f（x）=x²-x+1，x∈（0，+∞），∴A（0，1），f′（x）=2x-1
∵過坐標原點O作曲線C：y=f（x）的切線l，切點為P（n，t）（n＞0），
∴
∴P（1，1），∴切線l的方程為y=x，
∴；
（II）解：∵g（x）=（1+x）²+alnx，x∈（0，+∞）
∴
①△=4-8a≤0，即時，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而沒有極值；
②當△=4-8a＞0即時，方程2x²+2x+a=0有二個不等實根，，
若，則x₁＜0，x₂≤0，g'（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而沒有極值；
若a＜0，則x₁＜0，x₂＞0，函數在（0，x₂）上，g'（x）＜0，單調遞減，在（x₂，+）上，g'（x）＞0，單調遞增
∴x=x₂，g（x）有極小值，沒有極大值；
（III）證明：令，則
令p（x）=，則
∴p（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴x＞0時，p（x）＜p（0）=0
∴x≥1時，h′（x）＜0
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞減
∴1≤x＜y時，
∴yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴F（x，y）＞F（y，x）．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．