Question

【題目】已知 .

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）令 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)， ， 時(shí)， ，∴時(shí)， ，從而可得結(jié)論.

試題解析：（1）易得定義域?yàn)?/span>，

，解得或.

當(dāng)時(shí)，∵，∴，

解得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，

i.若，即時(shí)， 時(shí)， ，

時(shí)， ， 時(shí)， ，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；

ii.若，即時(shí)， 時(shí)， 恒成立，

沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

iii.若，即時(shí)， 時(shí)， ； 時(shí)， ，

時(shí)， ，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上： 時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為； 時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為；

時(shí)，無單調(diào)遞減區(qū)間； 時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令 ，

則

.

令， ，

時(shí)， ， 時(shí)， ，

∴時(shí)， ，即時(shí)， 恒成立.

解得或， 時(shí)， ， 時(shí)，

，∴時(shí)， ，得證.