Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，等差數列b_n的前n項和為T_n，已知S_n=2ⁿ⁺¹-c+1（其中c為常數），b₁=1，b₂=c．
（1）求常數c的值及數列{a_n}，b_n的通項公式a_n和b_n．
（2）設dn=

bn

an

，設數列d_n的前n項和為D_n，若不等式m≤D_n＜k對于任意的n∈N^*恒成立，求實數m的最大值與整數k的最小值．
（3）試比較

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

與2的大小關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由題設知，S_n-1=2ⁿ-c+1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），所以a₁=2¹=2；另一方面，當n=1時，a₁=S₁=2²-c+1=5-c，所以c=3，
從而b_n=2n-1．
（2）由dn=

2n-1

2n

，知D_n=d₁+d₂+d₃+d₄+…+d_n-1+d_nDn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+

7

24

++

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，再用錯位相減法求出Dn=3-

2n+3

2n

．然后利用D_n是單調遞增的，求實數m的最大值和整數k的最小值．
（3）由b_n=2n-1得T_n=n²，

1

Tn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，所以由裂項求和法知

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

++

1

Tn

＜2．

解答：解：（1）由題可得當n≥2時，S_n-1=2ⁿ-c+1
從而a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），
又由于{a_n}為等比數列，所以a_n=2ⁿ（n∈N^*），
所以a₁=2¹=2；另一方面，當n=1時，a₁=S₁=2²-c+1=5-c
所以c=3，從而b_n=2n-1

（2）由（1）得dn=

2n-1

2n

所以D_n=d₁+d₂+d₃+d₄++d_n-1+d_nDn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+

7

24

++

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①
從而

1

2

Dn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+

7

25

++

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
①-②得

1

2

Dn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+

2

24

++

2

2n

-

2n-1

2n+1

解得Dn=3-

2n+3

2n

由于D_n是單調遞增的，且

2n+3

2n

＞0，所以D₁≤D_n＜3，即

1

2

≤Dn＜3
所以實數m的最大值為

1

2

，整數k的最小值為3．

（3）由b_n=2n-1可求得T_n=n²，
當n≥2時，

1

Tn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

所以

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

++

1

Tn

=1+(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
所以

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

++

1

Tn

＜2

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意裂項求和法的運用．